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已知数列{an}、{bn}满足
bn=
,求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。
6已知数列{an}、{bn}满足bn=,求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。
证明略
①必要性：
设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列
从而bn+1－bn=a1+n·
d－a1－(n－1) d=d为常数。
故{bn}是等差数列，公差为d。
②充分性:
设{bn}是等差数列，公差为d′,则bn=(n－1)d′
∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①
bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an ②
①－②得：nan=
bn－1
从而得an+1－an=
d′为常数，故{an}是等差数列。
综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。