已知斜三棱柱
，
，
，
在底面
上的射影恰为
的中点
，又知
.
(I)求证：
平面
；
(II)求
到平面
的距离；
(III)求二面角
的平面角的正弦值.
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已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知.
(I)求证：平面；
(II)求到平面的距离；
(III)求二面角的平面角的正弦值.
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解：（I）因为
平面，
所以平面
平面，
又
，所以
平面
，
得
，又
所以平面；
（II）因为
，所以四边形为菱形，
故
，又为中点，知
。
取
中点
，则
平面
，从而面
面，
过
作
于
，则
面，
在
中，
，故
，
即到平面的距离为。
（III）过作
于
，连
，则
，
从而
为二面角的平面角，
在
中，
，所以
，
在
中，
，
故二面角的平面角的正弦值为
.