已知函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若函数
在
上单调递减，试求
的取值范围；
（Ⅲ）若函数的最小值为
，试求的值．
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围；
（Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值．
解：由题意可知
．
（Ⅰ）因为，则
，
，
所以函数在点处的切线方程为
．
即
． …………………3分
（Ⅱ）因为函数在上单调递减，
所以当
时，
恒成立．
即当时，
恒成立． …………………5分
显然，当
时，函数
单调递减，
当
时，函数单调递增．
所以要使得“当时，恒成立”，
等价于
即
所以
． …………………7分
（Ⅲ）设，则
．
①当
，即
时，
，所以
．
所以函数在
单增，所以函数没有最小值．…………………9分
②当
，即
时，令
得
，
解得
随着
变化时，
和
的变化情况如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
| ＋ |
| － | 0 | ＋ |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
当
时，
.
所以
.
所以
.
又因为函数的最小值为
，
所以函数的最小值只能在
处取得.
所以
.
所以
.
易得
.
解得
． …………………………………12分
以下证明解的唯一性，仅
供参考：
设
因为
，所以
，
．
设
，则
.
设
，则
.
当
时，
，从而易知
为减函数.
当
，
；当
，
．
所以方程只有唯一解．
