已知斜三棱柱
,
,
,
在底面
上的射影恰为
的中点
,又知
. (1)求证：
平面
；
(2)求
到平面
的距离；
(3)求二面角
的平面角的余弦值的大小.
已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知. (1)求证：平面；
(2)求到平面的距离；
(3)求二面角的平面角的余弦值的大小.
解法
：(1)∵
平面,∴平面
平面,又
,∴
平面
, 得
,又
,
∴
平面
(2)∵
,四边形为菱形,故
,
又为
中点,知∴
.取
中点
,则
平面
,从而面
面过
作
于
,则
面,在
中,
,故
,即到平面的距离为
(3)过作
于
,连
,则
,从而
为二面角
的平面角,在
中,
,∴
在
中,
,故二面角的平面角余弦的大小为
解法
：(1)如图,取
的中点
,则
,∵,∴
,
又平面,以
为
轴建立空间坐标系,
则
,
,
,
,
,
,
,
,由
,知
,
又,从而平面
(2)由
,得
.设平面的法向量为
,
,
,
,设
,则
∴点
到平面的距离
(3)(3)设面的法向量为
,
,,∴
设
,则
,故
,根据法向量的方向
可知二面角的平面角余弦的大小为