(1)若动点M满足
·
+
|
|=0,求点M的轨迹C;
(2)若过点B的直线L2(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
(1)若动点M满足·+||=0,求点M的轨迹C;
(2)若过点B的直线L2(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
=(1,0),=(x-2,y),=(x-1,y),由
·
+2|
|=0得(x-2)+y·0+2·
=0.整理,得
+y2=1.
∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为2
,短轴长为2的椭圆.
(2)如图,由题意知直线L2的斜率存在且不为零,设L2方程为y=k(x-2)(k≠0),①
将①代入
+y2=1,整理,得(2k2+1)x2-8k2·x+(8k2-2)=0,
由Δ＞0得0＜k2＜
.设E(x1,y1),F(x2,y2),则
②
令λ=
,则λ=
,由此可得
=λ·
,λ=
,且0＜λ＜1.
由②知(x1-2)+(x2-2)=
,(x1-2)·(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=
.
∴
=
,即k2=
∵0＜k2＜
,∴0＜
,解得3-2
＜λ＜3+2
.又∵0＜λ＜1,∴3-2
＜λ＜1.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2
,1).