如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，
=
，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BCE；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若EC=1，CD=3，求cos∠DBA．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，=，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BCE；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若EC=1，CD=3，求cos∠DBA．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥AC于点F，
在△ABF与△DBE中，
∴△ABF≌△DBE（AAS）
∴BF=BE，
∵BE⊥DC，BF⊥AC，
∴∠1=∠BCE
（2）连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，即∠1+∠BAC=90°，
∵∠BCE+∠EBC=90°，且∠1=∠BCE，
∴∠BAC=∠EBC
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴∠EBC=∠OBA，
∴∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°，
∴BE是⊙O的切线
（3）由（2）可知：∠EBC=∠CBF=∠BAC，
在△EBC与△FBC中，
∴△EBC≌△FBC（AAS）
∴CF=CE=1
由（1）可知：AF=DE=1+3=4，
∴AC=CF+AF=1+4=5，
∴cos∠DBA=cos∠DCA=
=
