如图，已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为
，P为棱SC的中点．
（1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值；
（2）求两面角B﹣SC﹣D大小的余弦值；
（3）在正方形ABCD内是否有一点Q，使得PQ⊥平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．
如图，已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为，P为棱SC的中点．
（1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值；
（2）求两面角B﹣SC﹣D大小的余弦值；
（3）在正方形ABCD内是否有一点Q，使得PQ⊥平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）设正方形ABCD的中心为O，如图建立空间直角坐标系，
则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），
D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，
），
∵P是SC的中点，∴P（﹣
，，
）．…（2分）
，设平面SBC的法向量
=（x1，y1，z1），
则
，即
，取
=（0，
，1），
∴cos＜
＞=
=
，…（4分）
故直线AP与平面SBC所成角的正弦值为．…（6分）
（2）设平面SDC的法向量
=（x2，y2，z2），则
，即
，取=（﹣
，0，1），
∴cos＜
，
＞=
=
，…（9分）
又二面角B﹣SC﹣D为钝角二面角，
故二面角B﹣SC﹣D大小的余弦值为﹣．…（11分）
（3）设Q（x，y，0），则
，…（12分）
若PQ⊥平面SDC，则
∥
，
∴
，解得
，…（15分）
但
＞1，点Q不在正方形ABCD内，故不存在满足条件的点Q．…（16分）
