已知函数． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）若函数在其定义

  已知函数．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）设两个极值点分别为，证明:．

解：（Ⅰ）当时，；

函数的定义域为，

当时，；当时，.

所以，在上单调递减；在上单调递增.              ………………4分

(Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数的定义域为，

所以方程在有两个不同根.

即，方程在有两个不同根.

（解法一）转化为，函数与函数

的图像在上有两个不同交点，如图.                     

可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，

只须.                                                ………………6分

令切点，所以，又，所以，

解得，，于是，                               

所以.                                                ………………8分

（解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点，

而（）                           

若，可见在上恒成立，所以在单调增，

此时不可能有两个不同零点.                               ………………5分

若，在时，，在时，，

所以在上单调增，在上单调减，

从而                                ………………6分

又因为在时，，在在时，，于是只须：

，即，所以.                  ………………7分

综上所述，                                         ………………8分

（ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根，

即，，

不妨设，作差得，，即.    

原不等式等价于

令，则，        ………………10分

设，，

∴函数在上单调递增，                  

∴，

即不等式成立，                      
故所证不等式成立．                      ………………12分