已知函数f（x）=ln2（1+x）-
．
（I）求函数f（x） 的单调区间;
（Ⅱ）若不等式
对任意的
都成立（其中e是自然对数的底数）．求
的最大值．
已知函数f（x）=ln2（1+x）-．
（I）求函数f（x） 的单调区间;
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）．求的最大值．
解:（Ⅰ）函数f（x）的定义域是
，
设
则
令
则
当
时， 
在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，
在
上为减函数．
所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0,所以
，函数g（x）在上为减函数．
于是当时，
当x＞0时，
所以，当时，
,
在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，
在上为减函数．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为．
（Ⅱ）不等式
等价于不等式
由
知，
设
则
由（Ⅰ）知，
即
所以
,于是G（x）在
上为减函数．
故函数G（x）在上的最小值为
所以a的最大值为