如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC

（1）求证：FG∥平面PAB；

（2）求证：FG⊥AC；

（3）当二面角P-CD-A多大时，FG⊥平面AEC？

解法一：（1）连结CG并延长交PA于M，连结BM.∵G为△PAC的重心，∴CG∶GM=2∶1.

又CF∶FB=2∶1,

∴FG∥BM.

∵BM平面PAB，FG平面PAB，

∴FG∥平面PAB.                                                          

（2）∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，

∴AC⊥平面PAB.∴AC⊥BM.

由（1）已证FG∥BM，∴FG⊥AC.                                           

（3）连结EM，由（2）知FG⊥AC,因此FG⊥平面AEC的充要条件是FG⊥AE，即BM⊥AE.

∵E、M分别为PB、PA的中点，

∴EM=BA=1，EM⊥PA.

设EA∩BM=H，则EH=HA.

设PA=h，则EA=PB=，EH=.

∵Rt△AME∽Rt△MHE,∴EM²=EH·EA.

∴1²=·,解得h=2.

在直角梯形ABCD中，由已知可得AD=，

∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，

∴PD⊥CD.∴∠PDA为二面角PCDA的平面角，其大小为arctan2时，FG⊥平面AEC.1

解法二：以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0）.

设P（0，0，h）.

∵G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF=2FB，∴G（0，，h），E（1，0，h），F（，，0）.                                            

（1）=（-，0，h）,=(2,0,0), =(0,0,h),设=x+y,则(-,0,h)=(2x,0,yh).

解得x=-,y=,

即=-+.                                              

∴与、共面.∵FG平面PAB，

∴FG∥平面PAB.

（2）=（0，2，0），·=0，∴FG⊥AC.                   

（3）由（2）知FG⊥AC，因此，FG⊥平面AEC的充要条件是FG⊥AE，即·=0.

∵=（1，0，h），

∴·=-+h²,解得h=2.

在直线梯形ABCD中，由已知可得AD=.

∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD.

∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，大小为arctan2.

∴当二面角P-CD-A为arctan2时，FG⊥平面AEC.