已知函数f（x）=ex﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex．
已知函数f（x）=ex﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）令g（x）=ex﹣x2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=ex﹣2，
令f′（x）=0，得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以当x=ln2时，f（x）有极小值，
且极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值…
（Ⅱ）证：令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x
由（Ⅰ）得，g'（x）=f（x）≥f（ln2）=2﹣ln4＞0，即g'（x）＞0
所以g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，
所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex…12分