知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．
（1）判断函数 f （x）的单调性；
（2）若函数 f （x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3．
知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．
（1）判断函数 f （x）的单调性；
（2）若函数 f （x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3．
解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax﹣2+
=
，
令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a，
①a≥
时，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，
则f（x）在（0，+∞）递增；
②a＜时，△=4﹣8a＞0，
由g（x）=0，解得：x1=
，x2=
，
（i）0＜a＜
时，0＜x1＜x2，
此时f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增；
（ii）a＜0时，x2＜0＜x1，
此时f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增，
∴a≥时，f（x）在（0，+∞）递增，
0＜a＜时，f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增，
a＜0时，f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增；------------6分
（2）证明：由（1）得0＜a＜时，函数f（x）有2个极值点x1，x2，
且x1+x2=
，x1x2=
，
∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+
）﹣（1+ln2），
令h（a）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），（0＜a＜
），
则h′（a）=﹣（﹣
）=
＞0，
∴h（a）在（0，）递增，
则h（a）＜h（
）=﹣（ln+2）﹣（1+ln2）=﹣3，
即f（x1）+f（x2）＜﹣3．-------6分