如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2,P是侧棱AA1上任意一点.(1)求

(1)求证:B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直;

(2)当BC₁⊥B₁P时,求线段AP的长;

(3)在(2)的条件下,求二面角CB₁PC₁的大小.

(1)证明:连结B₁P,假设B₁P⊥平面ACC₁A₁,

则B₁P⊥A₁C₁.

    由于三棱柱ABC—A₁B₁C₁为正三棱柱,

    ∴AA₁⊥A₁C₁.

    ∴A₁C₁⊥侧面ABB₁A₁.

    ∴A₁C₁⊥A₁B₁，

    即∠B₁A₁C₁=90°.

    这与△A₁B₁C₁是等边三角形矛盾.

    ∴B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直.

(2)解:取A₁B₁的中点D,连结C₁D、BD、BC₁,

    则C₁D⊥A₁B₁,

    又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁,

    ∴AA₁⊥C₁D.

    ∴C₁D⊥平面ABB₁A₁.

    ∴BD是BC₁在平面ABB₁A₁上的射影.

    ∵BC₁⊥B₁P.

    ∴BD⊥B₁P.

    ∴∠B₁BD=90°-∠BB₁P=∠A₁B₁P.

    又A₁B₁=B₁B=2,

    ∴△BB₁D≌△B₁A₁P,A₁P=B₁D=1.

    ∴AP=1.

(3)解:连结B₁C,交BC₁于点O,则BC₁⊥B₁C.

    又BC₁⊥B₁P,

    ∴BC₁⊥平面B₁CP.

    过O在平面CPB₁上作OE⊥B₁P,交B₁P于点E,连结C₁E,则B₁P⊥C₁E,

    ∴∠OEC₁是二面角C-B₁P-C₁的平面角.

    由于CP=B₁P=,O为B₁C的中点,连结OP,

    ∴PO⊥B₁C,OP·OB₁=OE·B₁P.

    ∴OE=.

    ∴tan∠OEC₁==.

    ∴∠OEC₁=arctan.

    故二面角CB₁PC₁的大小为arctan.