设等比数列
的首项为
，公比为
（为正整数），且满足
是
与
的
等差中项；等差数列
满足
.
（1）求数列，的通项公式；
（2) 若对任意
，有
成立，求实数
的取值范围;
（3）对每个正整数
，在
和
之间插入
个2，得到一个新数列
，设
是数列的前
项和，试求满足
的所有正整数
.
设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；等差数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2) 若对任意，有成立，求实数的取值范围;
（3）对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
（1）由题意
，则
，解得
或
因为为正整数，所以
， 又，所以
（2）
．
记
当
时
，得
单调减，
又
，所以
（3）由题意知，
则当
时，
，不合题意，舍去；
当
时，
，所以成立；
当
时，若
，则
，不合题意，舍去；从而
必是数列中的某一项，则
又
，所以
，
即
，所以
因为
为奇数，而
为偶数，所以上式无解。
即当时，
综上所述，满足题意的正整数仅有.