(1)求{an}及{bn}的通项公式an和bn,
(2)若f(n)=
问是否存在k∈N
(3)若对任意的正整数n,不等式
≤0恒成立,求正数a的取值范围.
(1)求{an}及{bn}的通项公式an和bn,
(2)若f(n)=问是否存在k∈N
(3)若对任意的正整数n,不等式≤0恒成立,求正数a的取值范围.
解：
(1)an=a1+(n-1)d=4+n-1=n+3.当n=1时,b1=S1=3.当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.当n=1时上式也成立,∴bn=2n+1(n∈N
*).∴an=n+3,bn=2n+1.(2)假设符合条件的k(k∈N
*)存在.由于f(n)=∴当k为正奇数时,k+27为正偶数.由f(k+27)=4f(k),得2(k+27)+1=4(k+3).∴2k=43,k=(舍去).
当k为正偶数时,k+27为正奇数,由f(k+27)=4f(k),得(k+27)+3=4(2k+1),即7k=26.∴k=
(舍去).因此,符合条件的正整数k不存在.
(3)将不等式变形并把an+1=n+4代入,得a≤
.
设g(n)=
.
∴g(n+1)=
.
∴
=
.
又∵
,∴
＞1,即g(n+1)＞g(n).
∴g(n)随n的增大而增大.故g(n)min=g(1)=
(1+
)=
.∴0＜a≤
.