三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，，，AC=2，A₁C₁=1，．

（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；

（Ⅱ）求二面角A﹣CC₁﹣B的大小．

考点：

平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（Ⅰ）欲证平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCC₁B₁内一直线与平面A₁AD垂直，根据线面垂直的性质可知A₁A⊥BC，AD⊥BC，又A₁A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁AD，而BC⊂平面BCC₁B₁，满足定理所需条件；

（Ⅱ）作AE⊥C₁C交C₁C于E点，连接BE，由三垂线定理知BE⊥CC₁，从而∠AEB为二面角A﹣CC₁﹣B的平面角，过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点，在Rt△BAE中，求出二面角A﹣CC₁﹣B的平面角即可．

解答：

证明：（Ⅰ）∵A₁A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴A₁A⊥BC．在Rt△ABC中，，∴，

∵BD：DC=1：2，∴，又，

∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．

又A₁A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AD，∵BC⊂平面BCC₁B₁，∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．（Ⅱ）如图，作AE⊥C₁C交C₁C于E点，连接BE，

由已知得AB⊥平面ACC₁A₁．∴AE是BE在面ACC₁A₁内的射影．

由三垂线定理知BE⊥CC₁，∴∠AEB为二面角A﹣CC₁﹣B的平面角．

过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点，

则CF=AC﹣AF=1，，∴∠C₁CF=60°．

在Rt△AEC中，．

在Rt△BAE中，．∴，

即二面角A﹣CC₁﹣B为．

点评：

本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角的平面角的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．