(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?
(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?
(半个椭圆的面积公式为S=
(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?
(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?
(半个椭圆的面积公式为S=
解：(1)如图建立直角坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为
=1,将b=h=6与点P的坐标代入椭圆方程,得a=
,此时l=2a=
≈33.3.
因此隧道的拱宽约为33.3米.
(2)方法一:由椭圆方程
=1,得
+
=1.因为
≥
,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=
lh=
≥
.当S取最小值时,有
=
,得a=11
,此时l=2a=22
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
方法二:由椭圆方程
=1,得
+
=1.于是b2=
.a2b2=
+242］≥
+242)=81×121,即ab≥99,当S取最小值时,
有a2-121=
得a=11
,以下同方法一.