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已知向量a=(,-1),b=(,),若存在不为零的实数k和角α,使向量c=a+(sinα-3)b,d=-ka+sinαb,且c⊥d,求实数k的取值范围.

答案

解:由已知有a²=4,b²=1,a·b=0.

∵c

⊥d,∴c·d=0,即

［a

+(sinα-3)b］·［-ka+sinαb］=0,

整理得-ka

²+(sinα-ksinα+3k)a·b+sinα(sinα-3)b²=0,有sin²α-3sinα-4k=0,

要求实数k的取值范围即求函数k=(sin²α-3sinα)的值域,由sinα∈［-1,1］易知其值域为［,1］.

又k不为零,所以实数k的取值范围为［,0)∪(0,1］.

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