在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为
.试求:
(1)切点A的坐标;
(2)过切点A的切线方程.
在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为.试求:
(1)切点A的坐标;
(2)过切点A的切线方程.
如图,设切点A(x0,y0),由y′=2x,得过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02.
令y=0,得x=
,即C(,0).
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S,
S=S曲边△AOB-S△ABC,S曲边△AOB
=
=
x3
=x03,
S△ABC=
|BC|·|AB|=(x0-)·x02=
x03,
即S=x03-x03=x03=.
所以x0=1,从而切点为A(1,1),切线方程为y=2x-1.
设出切点A的坐标,利用导数的几何意义,写出切线方程,然后利用定积分求出所围成平面图形的面积,从而确定切点A的坐标,使问题得以解决.
