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（08年重庆重点中学联考）(10分)如图所示，质量为m的小球由光滑斜轨道自由下滑后，接着又在一个与斜轨道相连的竖直的光华圆环内侧运动，阻力不计，求

 ⑴小球至少应从多高的地方滑下，才能达到圆环顶端而不离开圆环；

⑵小球到达圆环底端时，作用于环底的压力。

答案

解析：

⑴小球在下滑的过程中机械能守恒，设地面为零势能面，小球下落的高度为h，小球能到达环顶端市的速度最小为v2。

 

小球到达环顶端而不离开的临界条件为重力恰好全部提供向心力

 

      即

 

小球在开始的机械能为E1=mgh

 

小球在环顶端的机械能为

 

根据机械能守恒 E1=E2

 

整理得：h=2.5R，即小球至少从离底端2.5R出滑下才能到达环顶而不离开圆环。

 

⑵当环从h=2.5R处下滑到底部速度为vB，由机械能守恒得

 

 

 

即

 

小球在底端受到重力mg和支持力N，小球作圆周运动所需要的向心力由支持力和重力提供，即

 

 

整理得：N=6mg

 

圆环对小球的支持力与小球对圆环的压力是作用力反作用力，所以小球作用于圆环的压力为6mg

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