(1)证明PB∥平面AEC;
(2)证明平面PCD⊥平面PAD;
(3)求二面角EACD的正切值.
(1)证明PB∥平面AEC;
(2)证明平面PCD⊥平面PAD;
(3)求二面角EACD的正切值.
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB.
∵EO
平面AEC,PB
平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(2)证明：∵P点在平面ABCD内的射影为A，
∴PA⊥平面ABCD.
∵CD
平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.
又∵CD
平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PAD.
(3)方法一：取AD中点L,过L作LK⊥AC于K，连结EK、EL,
∵L为AD中点，∴EL∥PA.∴EL⊥平面ABCD.
∴LK为EK在平面ABCD内的射影.
又∵LK⊥AC,∴EK⊥AC.
∴∠EKL为二面角E-AC-D的平面角.
在Rt△ADC中,LK⊥AC,∴△AKL∽△ADC.∴
=
,即
=
.∴KL=
.
又EL=
PA=1,在Rt△ELK中,tan∠EKL=
,
∴二面角E-AC-D的正切值为
.
方法二：如图，以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
由AP=AB=2可知A,B,C,D,P,E的坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), E(0,1,1).
∵PA⊥平面ABCD,∴
是平面ABCD的法向量,
=(0,0,2).
设平面AEC的法向量为n
=(x,y,z),
=(0,1,1),
=(2,2,0),则
即
∴
∴令y=-1,则n
=(1,-1,1).∴cos〈
,n
.∴tan〈
,n〉=
.∴二面角EACD的正切值为2.