已知，平行四边形ABCD，E在BC延长线上，连接DE，∠A+∠E=180°． （1）

已知，平行四边形ABCD，E在BC延长线上，连接DE，∠A+∠E=180°．

（1）如图1，求证：CD=DE；

（2）如图2，过点C作BE的垂线，交AD于点F，求证：BE=AF+3DF；

（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC的平分线，交CD于G，交CF于H，连接FG，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠BCD，

∵∠A+∠E=180°，∠BCD+∠DCE=180°，

∴∠DCE=∠E，

∴CD=DE；

（2）如图2，过点D作DN⊥BE于N，

∵CF⊥BE，

∴∠DNC=∠BCF=90°，

∴FC∥DN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴四边形CFDN是矩形，

∴FD=CN，

∵CD=DE，DN⊥CE，

∴CN=NE=FD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=AF+FD，

∴BE=AF+3DF．

（3）如图3，过点B作BM⊥AD于点M，延长FM至K，使KM=HC．连接BK，

∵□ABCD，

∴AB∥CD，

∴∠ABG=∠BGC，

∵BG平分∠ABC，

∴设∠ABG=∠CBG=∠BGC=α，

∴BC=CG，

∵∠FGH=45°，

∴∠FGC=45°+α，

∵∠BCF=90°，

∴∠BHC=∠FHG=90°﹣α，

∴∠HFG=45°+α=∠FGC，

∴FC=CG=BC，

∵BM⊥AD，

∴∠MBC=90°=∠FCE=∠MFC，

∴四边形BCFM是矩形，

∵BC=FC，

∴四边形BCFM是正方形，

∴BM=MF=BC=AD，

∴MA=DF=8，

∵∠KMB=∠BCH=90°，KM=CH，

∴△BMK≌△BCH，

∴KM=CH=9，∠KBM=∠CBH=α，∠K=∠BHC=90°﹣α，

∵∠MBC=90°，

∴∠MBA=90°﹣2α，

∴∠KBA=90°﹣α=∠K，

∴AB=AK=8+9=17，

在Rt△ABM中，∠BMA=90°，BM==15，

∴AD=BC=BM=15，[来源:学&科&网]

∴AF=AD﹣DF=15﹣8=7，

∴BE=AF+3DF=7+3×8=31．