设动点
的坐标为
（x、
），且动点到定点
，
的距离之和为8.
（I）求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
作直线
与曲线交于
、
两点，若
（
为坐标原点），是否存在直线，使得四边形
为矩形，若存在,求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
设动点的坐标为（x、），且动点到定点，的距离之和为8.
（I）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在,求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
解：（I）由已知可得，动点
的轨迹是到定点
，
的距离之和为8的椭圆.
则曲线
的方程是
.
（Ⅱ）因为直线
过点
，若直线的斜率不存在，则的方程为
，与椭圆的两个交点
、
为椭圆的顶点.
由
，则
与
重合，与
为四边形矛盾.
若直线的斜率存在，设方程为
，
，
.
由
得
.
恒成立.
由根与系数关系得：
，
.
因为，所以四边形为平行四边形.
若存在直线使四边形为矩形，则
.
所以
.
所以
.
即
.
化简得： 
. 与斜率存在矛盾.
则不存在直线，使得四边形为矩形.