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17．已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点， △ABC，△PEF都是

17．已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，

△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；

（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.

答案

17.（Ⅰ）证明： 连结CF.

 

（Ⅱ）解法一：

为所求二面角的平面角. 设AB=a，则

 

解法二：设P在平面ABC内的射影为O.

≌≌

得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心.

为所求二面角的平面角.

设AB=a，

则

    

（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.

，的边长为.

解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.

连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形.  设AB=x，球半径为R.


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