已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)不等式m0+f(x)>0可化为m0>-f(x),
即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m0>-4即可.
故存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m0>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),
若存在一个实数x0,使不等式m>f(x0)成立,
只需m>f(x0)min.
又f(x0)=(x0-1)2+4,
所以f(x0)min=4,所以m>4.
所以,所求实数m的取值范围是(4,+∞).