证明:
∵(a+b-c)+(b+c-a)=2b＞0,(b+c-a)+(c+a-b)=2c＞0,
(c+a-b)+(a+b-c)=2a＞0,
∴a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正.
(1)当a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.
(2)a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时,则
(a+b-c)(b+c-a)≤
=b.
同理,
)≤a,
≤c,
三式相乘得
ABC≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
点评:
均值不等式成为启动证题过程的理由(充分条件),在证题过程中,对三个小不等式实行了叠乘的运算,还有为应用均值不等式而进行的讨论都是值得同学们注意的.