（2019·湖北中考模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，D为⊙O上一点．
（1）求证：∠P＝180°﹣2∠D；
（2）如图，PE∥BD交AD于点E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝
，⊙O的半径为2
，求AE的长．
（2019·湖北中考模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，D为⊙O上一点．
（1）求证：∠P＝180°﹣2∠D；
（2）如图，PE∥BD交AD于点E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝，⊙O的半径为2，求AE的长．
（1）证明见解析；（2）4
【解析】
（1）证明：如图1，连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB＝180°﹣∠AOB，
∵∠AOB＝2∠D，
∴∠P＝180°﹣2∠D；
（2）
如图2，过点O作OG⊥AD，连接OB，OE，连接OA交PE于点F
由（1）得，∠OPA＝90°﹣∠D
OB⊥PB；OA⊥PA
∴∠POA＝180°﹣90°﹣∠OPA＝∠D
又∵PE∥BD，
∴∠D＝∠PEA
∴∠PEA＝∠POA
∵∠PFO＝∠EFA
∴△OPF∽△EFA
∴∠OPE＝∠OAD
∴tan∠OAD＝tan∠OPE＝
∴OG＝AG
∴在△OAG中，由勾股定理得
AG2+OG2＝OA2⇒
，解得AG＝6
∴AD＝12
又∵DE＝2AE
∴AE＝AD＝×12＝4
【点睛】
此题主要考查圆的切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理．灵活运用相似三角形边的比例关系是解题的关键．在做涉及圆的题目中，作好辅助线是解题的突破口．