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21.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A（1,0）,点P、Q在双曲线的右支

21.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A（1,0）,点P、Q在双曲线的右支上,点M（m,0）到直线AP的距离为1.

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k,且|k|∈［

,］,求实数m的取值范围;

（Ⅱ）当m =

+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.

答案

21.本题主要考查直线、双曲线方程和性质等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

解：（Ⅰ）由条件得直线AP的方程y=k（x－1）,

即kx－y－k=0.

因为点M到直线AP的距离为1,

∴

=1,

即|m－1|=

=.

∵|k|∈［

,］,

∴

≤|m－1|≤2,

解得

+1≤m≤3或－1≤m≤1－.

∴m的取值范围是［－1,1－

］∪［1+,3］.

（Ⅱ）可设双曲线方程为x2－

=1（b≠0）,

由M（

+1,0）,A（1,0）,得|AM|=.

又因为M是△APQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45°,

直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.

因此,kAP=1,kAQ=－1,（不妨设P在第一象限）

直线PQ方程为x=2+

.直线AP的方程y=x－1,

∴解得P的坐标是（2+

,1+）.

将P点坐标代入x2－

=1得

b2=

.

所以所求双曲线方程为x2－

y2=1,

即x2－（2

－1）y2=1.

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