已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax． （1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率

已知函数f（x）=e^x﹣x²﹣ax．

（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；

（2）令g（x）=f（x）+（x²﹣a²），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x²﹣x+1．

解：（1）∵f′（x）=e^x﹣2x﹣a，∴f′（0）=1﹣a=1，∴a=0，

∴f′（x）=e^x﹣2x，记h（x）=e^x﹣2x，∴h′（x）=e^x﹣2，令h′（x）=0得x=ln2．

当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单减；当ln2＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增，

∴h（x）_min=h（ln2）=2﹣2ln2＞0，

故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上单调递增，

∴f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=f（1）=e﹣1．

（2）∵g（x）=e^x﹣（x+a）²，∴g′（x）=e^x﹣x﹣a．

令m（x）=e^x﹣x﹣a，∴m′（x）=e^x﹣1，

当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）_min=m（0）=1﹣a．

（i）当1﹣a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，

∴g（x）_min=g（0）=1﹣≥0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．

（ii）当1﹣a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1﹣a＜0，

当1＜a＜e²﹣2时，m（ln（a+2））=2﹣ln（2+a）＞0，

∴∃x₀∈（0，ln（a+2）），使m（x₀）=0，即e=x₀+a．

当x∈（0，x₀）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减；

当x∈（x₀，ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增．

∴g（x）_min=g（x0）=e﹣（x₀+a）²=e﹣e=e（1﹣e）≥0，

∴e≤2可得0＜x₀≤ln2，由e=x₀+a，

∴a=e﹣x₀．

记t（x）=e^x﹣x，x∈（0，ln2]，

∴t′（x）=e^x﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，

∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，

综上，a∈[﹣，2﹣ln2]．

（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x²﹣x+1等价于e^x﹣x²﹣ex≥xlnx﹣x²﹣x+1，

即e^x﹣ex≥xlnx﹣x+1．

∵x＞0，∴等价于﹣lnx﹣﹣e+1≥0．

令h（x）=﹣lnx﹣﹣e+1，

则h′（x）=．

∵x＞0，∴e^x﹣1＞0．

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；

当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．

∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，

∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，

∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x²﹣x+1成立．