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已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求

已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.

答案

解

:设P(x1,y1)、Q(x2,y2),

由消去y得5x2+4m-60=0.①

由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m＞0,即m＜15.

由韦达定理因为PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.

所以·=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.②

因为y1=3,y2=3,

所以y1y2=(3)(3)=9(x1+x2)+=9+,y1+y2=6.

代入②,得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.

所以m=10,适合m＜15.所以实数m的值为10.

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