设数列
的前
项和为
，且满足
，数列
满足
，且
．
（1）求数列和的通项公式;
（2）设
，数列的前项和为
,求证: 
;
（3）设数列
满足
（
），若数列是递增数列，求实数
的取值范围．
设数列的前项和为，且满足，数列满足，且．
（1）求数列和的通项公式;
（2）设，数列的前项和为,求证: ;
（3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围．
解：(1)∵n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2， ∴a1＝1.
∵Sn＝2－an，即an＋Sn＝2， ∴an＋1＋Sn＋1＝2.
两
式相减：an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0.
即an＋1－an＋an＋1＝0 故有2an＋1＝an，∵an≠0，
∴
＝
∴an＝
n－1. ……………3分
∵bn＋1＝bn＋an(n＝1,2,3，…)， ∴bn＋1－bn＝n－1.
得b2－b1＝1，b3－b2＝，b4－b3＝2，
,bn－bn－1＝n－2(n＝2,3，…)．
将这n－1个等式相加，得
bn－b1＝1＋＋2＋3＋…＋n－2＝
＝2－n－2.
又∵b1＝1，∴bn＝3－n－2(n＝1,2,3…)． ………………6分
(2)证明：∵cn＝n(3－bn)＝2nn－1.
∴Tn＝2
.①
而Tn＝2
.②
①－②得
Tn＝2
－2×n×n.
Tn＝4×
－4×n×n＝8－
－4×n×n
＝8－
(n＝1,2,3，…
∴Tn＜8.
（3）由（1）知
由数列
是递增数列，∴对
恒成立，
即
恒成立，
即
恒成立，
当为奇数时，即
恒成立，∴
，
当为偶数时，即
恒成立，∴
综上实数的取值范围为