如图(1),△BCD内接于直角梯形A1A2A3D,已知沿△BCD三边将△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去,恰好形成一个三棱锥ABCD，如图（2）所示.
(1)求证:在三棱锥ABCD中，AB⊥CD；
(2)若直角梯形的上底A1D=10，高A1A2=8，求翻折后三棱锥的侧面ACD与底面BCD所成二面角θ的余弦值.
如图(1),△BCD内接于直角梯形A1A2A3D,已知沿△BCD三边将△A1BD、△A2BC、△A3CD翻折上去,恰好形成一个三棱锥ABCD，如图（2）所示.
(1)求证:在三棱锥ABCD中，AB⊥CD；
(2)若直角梯形的上底A1D=10，高A1A2=8，求翻折后三棱锥的侧面ACD与底面BCD所成二面角θ的余弦值.
(1)证明:在直角梯形A1A2A3D中,
A1D⊥A1B,A2C⊥A2B,
翻折成三棱锥后仍有AB⊥AD,AB⊥AC,
∴AB⊥平面ACD.
又
平面ACD,∴AB⊥CD.
(2)解:由题设可知,B、C必是A1A2、A2A3的中点,A1D=A3D.
∴A1D=A3D=10,A1B=A2B=4.
过D作DE⊥A2A3,垂足为E,得DE=8.
在Rt△DEA3中,得EA3=6,
∴A2A3=16.
于是A2C=CA3=8，CE=2.
不难得到S△BCD=36,S△CDA=32.
∵AB⊥平面ACD,
由面积射影定理得
.
故侧面ACD与底面BCD所成二面角θ的余弦值为
.
空间直线和平面