已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
，点
在椭圆
上，且
的面积的最大值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线
与椭圆交于不同的两点
，若在
轴上存在点
，使得
，求点的横坐标的取值范围.
已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出
的中点
的坐标，根据
得出点横坐标
的表达式，利用基本不等式得出的取值范围.
试题解析：(1)由已知得
，解得
，
∴椭圆的方程为
.
(2)设
，的中点为
，点
，使得
,
则
.
由
得
，由
，得
.
∴
，
∴
.
∵
∴
，即
，
∴
.
当
时，
（当且仅当
，即
时，取等号），
∴
；
当时，
（当且仅当，即
时，取等号），
∴
，∴点的横坐标的取值范围为
.