设定义在区间[x1， x2]上的函数y
=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量
=
，
，
=(x，y)，当实数λ满足x=λ x1+(1－λ) x2时，记向量
=λ+(1－λ)
．定义“函数y=f(x)在区间[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指“
k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f(x)=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数
在区间
上可在标准k=
下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=
0.541）
【解】（1）由=λ+(1－λ)得到
=λ
，所以B，N，A三点共线， 又由x=λ x1+(1－λ) x2与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同．对于 [0，1]上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)，
则有
，故
；所以k的取值范围是
．
（2）对于
上的函数
，
A(
)，B(
)， 则直线AB的方程
， 令
，其中
，于是
， 列表如下：
| x | em | (em，em+1－em) | em+1－em | (em+1－em，em+1) | em+1 |
|
| + | 0 | － | ||
|
| 0 | 增 |
| 减 | 0[ |
则
，且在
处取得最大值，又
0.123
，从而命题成立．
