已知数列{an}、{bn}，其中，a1=，数列{an}的前n项和Sn=n2an（n∈N*），数

已知数列{a_n}、{b_n}，其中，a₁=，数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n．

（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；

（3）若数列{c_n}满足c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

考点： 数列与不等式的综合．

专题： 综合题；不等式的解法及应用．

分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a_n}的通项公式．b₁=2，b_n+1=2b_n可知{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b_n}的通项公式．

（2）b_n=2ⁿ．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有1+恒成立，由此能导出m的最小值．

（3）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）因为．

当n≥2时， ，

所以

所以（n+1）a_n=（n﹣1）a_n﹣1，即． …2分

又，

所以==．…4分

当n=1时，上式成立，

因为b₁=2，b_n+1=2b_n，所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，

故．…6分

（2）由（1）知，则．

假设存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立，即恒成立，由，解得m≥16．…9分

所以存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立，

此时，m的最小值为16．…11分

（3）当n为奇数时，

=[2+4+…+（n+1）]+（2²+2⁴+…+2^n﹣1）==；…13分

当n为偶数时，=（2+4+…+n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）

==．…15分

因此． …16分．

点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．