设椭圆C：
的离心率e＝
，左顶点M到直线
＝1的距离d＝
，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．
设椭圆C：的离心率e＝，左顶点M到直线＝1的距离d＝，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得
，又a2＝b2+c2，
解得a＝2，b＝1，c＝
，
∴椭圆C的方程为
．
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1＝x2，y1＝﹣y2，
∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴
＝0，
∴x1x2+y1y2＝0，∴
，
又点A在椭圆C上
，
解得|x1|＝|y1|＝
．
此时点O到直线AB的距离
．
（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m，
联立
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，
∴
＝x1x2+y1y2＝0，
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，
∴（1+k2）•
，
整理，得5m2＝4（k2+1），
∴点O到直线AB的距离
＝
，
综上所述，点O到直线AB的距离为定值
．
（3）设直线OA的斜率为k0，
当k0≠0时，OA的方程为y＝k0x，OB的方程为y＝﹣
，
联立
，得
，同理，得
，
∴△AOB的面积S＝
＝2
，
令1+
＝t，t＞1，
则S＝2
＝2
，
令g（t）＝﹣
+
+4＝﹣9（
）2+
，（t＞1）
∴4＜g（t）
，∴
，
当k0＝0时，解得S＝1，
