（本题满分14分）给定椭圆
＞
＞0
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
．
（1）求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为
的直线
与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于M、N两
点，求弦MN的长；
（3）点
是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线
，使得
与椭圆都只有一个公共点，求证：
⊥
.
（本题满分14分）给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
（1）求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于M、N两
点，求弦MN的长；
（3）点是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥.
解：（1）因为
，所以
，所以椭圆的方程为
，
伴随圆的方程为
. ……………………………… 4分
（2）设直线
的方程
，由
得
由
得
，圆心到直线的距离为
所以
。 ……………………………… 8分
（3）①当
中有一条无斜率时，不妨设
无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为
或
，
当方程为时，此时与伴随圆交于点
此时经过点
（或
且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是
(或
，即
为(或，显然直线
垂直；
同理可证方程为时，直线垂直. ……………………………… 10分
②当都有斜率时，设点
其中
，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
，
由
，消去
得到
，
即
， 
，
经过化简得到：
，
因为，所以有
，
设的斜率分别为
，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以是关于
的方程：的两个实数根，
因而
，即⊥
. ……………………………… 14分