已知函数
，
为实数）有极值，且在
处的切线与直线
平行.
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数
的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数
试判断函数
在
上的符号,并证明:
（
）．
已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数试判断函数在上的符号,并证明:
（）．
试题解析：（Ⅰ）
由题意
① ………………………………………………（1分） 
②
由①、②可得，
故实数a的取值范围是
…………………………（3分 ）
（Ⅱ）存在
………………………………………（5分）
由（1）可知
，
，且
|
|
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | － | 0 | + |
|
| 单调增 | 极大值 | 单调减 | 极小值 | 单调增 |
，
.…………………………………………………（6分）
…………………………………（7分）
的极小值为1.………………………………（8分）
（Ⅲ）由
即
故，
则在上是增函数，故
，
所以，在上恒为正。.………………………………（10分）
（注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）
当
时，
，设
，则
即：
.………………………………（12分）
上式分别取
的值为1、2、3、……、
累加得：
，（）
，（）
，（）
，（）
即，，（），当
时也成立……………（14分）
考点：1.利用导数处理曲线的切线；2.利用导数求函数的极值；2.利用函数的单调性证明函数不等式
