.(1)求m、n的值;
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+
)(x∈R,t＞0).
.(1)求m、n的值;
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R,t＞0).
解:(1)f′(x)=3mx2-1,依题意,得tan
. ∴f(x)=
.∴m=
,n=-
. (2)令f′(x)=2x2-1=0,得x=±
当-1＜x＜-
当-
时,f′(x)=2x2-1＜0;当
又f(-1)=
)=
,f(
)=-
,f(3)=15,因此,当x∈［-1,3］时,-
要使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立,则k≥15+1 991=2 006.
∴存在最小的正整数k=2 006,使得不等式f(x)≤k-1 991对于x∈［-1,3］恒成立.
(3)证法一:|f(sinx)+f(cosx)|
=|(
cos3x-cosx)|=|
=|(sinx+cosx)［
=|sinx+cosx|·|-
|=
=
)|3≤
. 又∵t＞0,∴t+
≥1.∴2f(t+
(t+
)3-(t+
)］=2(t+
)［
(t2+1+
)-1］=2(t+
(t2+
)-
］≥2
(
-
)=
.综上,可得|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+
证法二:由(2)知函数f(x)在［-1,-
,
］上是减函数;在［
,1］上是增函数.又f(-1)=
)=
,f(
)=-
,f(1)=-
,∴当x∈［-1,1］时,-
,即|f(x)|≤
.∵sinx,cosx∈［-1,1］,
∴|f(sinx)|≤
.∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤
=
. 又∵t＞0,∴t+
＞1,且函数f(x)在［1,+∞)上是增函数.∴2f(t+
)=2［
(
)3-
］=
.综上,可得|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+
)(x∈R,t＞0).