已知抛物线C1：y=﹣x2﹣（a+1）x﹣a2﹣4a﹣1交x轴于A、B两点（点A在点B

已知抛物线C₁：y=﹣x²﹣（a+1）x﹣a²﹣4a﹣1交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C．

（1）求证：不论a为何实数值，顶点C总在同一条直线上；

（2）若∠ACB=90°，求此时抛物线C₁的解析式；

（3）在（2）的条件下，将抛物线C₁沿y轴负方向平移2个单位得到抛物线C₂，直线y=kx﹣2k+1交抛物线C₂于E、F两点（点E在点F的左边），交抛物线C₂的对称轴于点N，M（x_E，3），若MN=ME，求的值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用配方法确定顶点坐标，取a=0或﹣1得到两个点，求出经过这两个点的直线的解析式，证明顶点在这条直线上即可．

（2）根据题意写出点B坐标，利用待定系数法即可解决问题．

（3）思想确定点N坐标，作FP⊥对称轴于P，EQ⊥对称轴于Q，设M（m，3），则E（m，﹣ m²+m+1），列出方程求出m的值，再求出E、F两点坐标即可解决问题．

【解答】（1）证明：配方得y=﹣（x+2+2a）²﹣2a，

∴顶点C坐标为（﹣2﹣2a，﹣2a），

当a=0时，顶点为（﹣2，0），当a=﹣1时，顶点为（0，2），

设经过（﹣2，0），（0，2）两点的直线为y=kx+b，

则解得，

∴直线解析式为y=x+2，

∵x=﹣2﹣2a时，y=﹣2a，

∴不论a为何实数值，顶点C总在直线y=x+2上．

（2）解：由题意B（﹣2﹣4a，0）代入y=﹣x²﹣（a+1）x﹣a²﹣4a﹣1，

得到，0=﹣（﹣2﹣4a）²﹣（a+1）（﹣2﹣4a）﹣a²﹣4a﹣1，

整理得，a²+2a=0，

解得a=﹣2或0，

a=0时，抛物线为y=﹣x²﹣x﹣1，与x轴只有一个交点，不合题意舍弃．

∴a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣x²+x+3．

（3）解：由题意抛物线C₂：y=﹣x²+x+1=﹣（x﹣2）²+2，

∴顶点为（2，2），

∵直线y=kx﹣2k+1，经过定点（2，1），

点（2，1）在对称轴上，

∴点N坐标为（2，1），

作FP⊥对称轴于P，EQ⊥对称轴于Q，设M（m，3），则E（m，﹣ m²+m+1），

∵MN=ME，

∴3﹣（﹣m²+m+1）=，

解得m=2﹣2（不符合题意的根已经舍弃），

∴点E（2﹣2，﹣1）代入y=kx﹣2k+1得到k=，

∴直线解析式为y=x﹣+1，

由解得或，

∴点F（2+，），

∴EQ=2，PF=，

∵EQ∥PF，

∴=，

∴==．

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．