已知曲线E上的任意点到点F（1，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离小1

已知曲线E上的任意点到点F（1，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离小1．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）点D的坐标为（2，0），若P为曲线E上的动点，求•的最小值；

（Ⅲ）设点A为y轴上异于原点的任意一点，过点A作曲线E的切线l，直线x=3分别与直线l及x轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点A在y轴上运动（点A与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？请证明你的结论．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．

【分析】（1）根据抛物线的定义得出轨迹方程；

（2）设出P点坐标（x，y），将•表示为x（或y）的函数，根据函数性质求出最小值；

（3）设A坐标（0，b）和直线l的斜率k，根据相切得出k，b的关系，求出M，N坐标得出圆C的圆心和半径，利用切线的性质得出AB的长．

【解答】解：（I）由题意可知曲线E为以F为焦点，以直线x=﹣1为准线的抛物线，

∴曲线E的方程为y²=4x．

（II）设P（，y），则，，

∴=（2﹣）（1﹣）+y²=（y²+2）²+．

∵y²≥0，

∴当y²=0时，取得最小值2．

（III）设A（0，b），切线l的方程为y=kx+b，

联立方程组，消元得k²x²+（2kb﹣4）x+b²=0，

∵直线l与曲线C相切，

∴△=（2kb﹣4）²﹣4k²b²=0，即kb=1．∴k=﹣．

∴直线l的方程为y=﹣x+b．

令x=3得y=b﹣．

∴M（3，b﹣），N（3，0）．

∴圆M的圆心为C（3，），半径r=||，

∴AC²=9+（）²．

∵AB是圆C的切线，∴AB²=AC²﹣BC²=AC²﹣r²=9．

∴AB=3．

即点A在y轴上运动（点A与原点不重合）时，线段AB的长度不发生变化．

【点评】本题考查了抛物线的定义，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系，属于中档题．