如图,在三棱锥P
ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,BC=1.
(1)求证:AH⊥平面PBC;
(2)求PM与平面AHB成角的正弦值;
(3)设点N在线段PB上,且
=λ,MN∥平面ABC,求实数λ的值.
如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,BC=1.
(1)求证:AH⊥平面PBC;
(2)求PM与平面AHB成角的正弦值;
(3)设点N在线段PB上,且=λ,MN∥平面ABC,求实数λ的值.
(1)证明:因为PA⊥底面ABC,BD⊂底面ABC,
所以PA⊥BC,
又因为AC⊥BC,PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC,
又因为AH⊂平面PAC,
所以BC⊥AH.
因为PA=AC,H是PC中点,
所以AH⊥PC,
又因为PC∩BC=C,
所以AH⊥平面PBC.
(2)解:在平面ABC中,过点A作AD∥BC,
因为BC⊥平面PAC,
所以AD⊥平面PAC,
又PA⊥底面ABC,得PA,AC,AD两两垂直,
所以以A为原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0,
,).
设平面AHB的法向量为n=(x,y,z),
=(0,1,1),
=(1,2,0),
由
得
令z=1,得n=(2,-1,1).
设PM与平面AHB所成角为θ,
因为
=(0,,-
),
所以sin θ=|cos<,n>|
=|
|
=|
|
即sin θ=
.
(3)解:因为
=(1,2,-2),
=λ,
所以=(λ,2λ,-2λ),
又因为=(0,,-),
所以
=-
=(λ,2λ-,-2λ).
因为MN∥平面ABC,平面ABC的一个法向量
=(0,0,2),
所以·=3-4λ=0,
解得λ=
.