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如图,某工程队要挖一个横断面为矩形ABCD的坑,挖出的土只能沿道路AP

如图,某工程队要挖一个横断面为矩形ABCD的坑,挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处,已知PA=100 m，PB=150 m，BC=60 m，∠APB=60°.试说明怎样运土才能最省工?

答案

思路分析:将原题转化为数学问题, 矩形中的点可分为三类:(1)沿AP到P较近;(2)沿BP到P较近;(3)沿AP、BP到P同样远近.显然,第三类点是第一、第二类点的分界.先求这类点形式的轨迹.

解:设F为分界线上的任意一点,则有|FA|+|PA|=|FB|+|PB|,

于是|FA|-|FB|=|PB|-|PA|=150-100=50.

由双曲线的定义知,F在以A、B为左、右焦点的双曲线的右支上.

在△PAB中运用余弦定理,有|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°=17 500,以AB所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系,则分界线是双曲线弧=1(25≤x≤35).

于是运土时,将此双曲线弧左侧的土沿AP运到P处,而将右侧的土沿PB运到P处最省工.

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