∆ABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC

∆ABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，∠EAB+∠DCF=180º．

（1）如图①，求证AD+BC=BE；

（2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；

（3）若BE⊥BC，tan∠BCD=，CD=10，则AD=______．

（1）见解析；（2）图②结论：BC－AD = BE，图③结论：AD－BC = BE；（3）14－6或 2+6.

【解析】

（1）证明∠EAB=∠BCD，用ASA证明△EAB≌△DCB，可得AD+BC=BE；

（2）利用（1）的解题思路，证明△EAB≌△DCB，即可得到图②的结论BC－AD = BE；图③的结论AD－BC = BE；

（3）利用（2）的结论，过点D作BC边长的垂线，构造直角三角形，结合tan∠BCD=，计算相应边的长度，即可得到AD的值．

【详解】

（1）证明：∵∠EAB+∠DCF=180⁰，∠BCD+∠DCF=180⁰，∴∠EAB=∠BCD，

∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，

∴AD+BC=AD+AB=BD=BE.

（2）图②结论：BC－AD = BE，

证明如下：∵∠EAB+∠DCF=180⁰，∠BCD+∠DCF=180⁰，∴∠EAB=∠BCD，

∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，

∴BA－AD=BC－AD= BE，即BC－AD=BE

图③结论：AD－BC = BE.

证明如下：∵∠EAB+∠DCF=180⁰，∠BCD+∠DCF=180⁰，∴∠EAB=∠BCD，

∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，

∴AD－AB=AD－BC= BD=BE，即AD－AB=BE

（3）如图②所示，作于G

由（2）知△EAB≌△DCB，∴

∵

∴

在中，CD=10，，∴

在中，，

∴

如图③所示，作于H

由（2）知△EAB≌△DCB，∴

∴

∵

∴

在中，CD=10，，∴

在中，，

∴

综上所述：AD的长度为14－6或 2+6.

【点睛】

本题考查了由图形变化引起的类比探究，快速确定全等三角形，并准确利用全等三角形的性质是解题的关键．