如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线
O1、O2相交于点M，且tan∠AM01=
，MD=4
．
（1）求⊙O2的半径；
（2）求△ADB内切圆的面积；
（3）在直线l上是否存在点P，使△MO2P相似于△MDB？若存在，求出PO2的长；若不存在，请
说明理由．
如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线
O1、O2相交于点M，且tan∠AM01=，MD=4．
（1）求⊙O2的半径；
（2）求△ADB内切圆的面积；
（3）在直线l上是否存在点P，使△MO2P相似于△MDB？若存在，求出PO2的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）连结O1A、O2B，如图，设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，
∵⊙O1与⊙O2外切与点D，
∴直线O1O2过点D，
∴MO2=MD+O2D=4
+R，
∵直线l与两圆分别相切于点A、B，
∴O1A⊥AB，O2B⊥AB，
∵tan∠AM01=
，
∴∠AM01=30°，
在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R，
∴4+R=2R，解得R=4，
即⊙O2的半径为4；
（2）∵∠AM02=30°，
∴∠MO2B=60°，
而O2B=O2D，
∴△O2BD为等边三角形，
∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°，
∴∠ABD=30°，
∵∠AM01=30°，
∴∠MO1A=60°，
而O1A=O1D，
∴∠O1AD=∠O1DA，
∴∠O1AD=
∠MO1A=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°，
在Rt△ABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8，
∴△ADB内切圆的半径=
=
=2
﹣2，
∴△ADB内切圆的面积=π•（2﹣2）2=（16﹣8）π；
（3）存在．
在Rt△MBO2中，MB=O2B=×4
=12，
当△MO2P∽△MDB时，
=
，即
=
，解得O2P=8；
当△MO2P∽△MBD时，
=
，即
=
，解得O2P=8，
综上所述，满足条件的O2P的长为8或8
．
