若数列
满足：
是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程
为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式
均可用特征根求得：
①若方程有两相异实根
，则数列通项可以写成
，（其中
是待定常数）；
②若方程有两相同实根
，则数列通项可以写成
，（其中是待定常数）；
再利用
可求得
，进而求得．
根据上述结论求下列问题：
（1）当
，
（
）时，求数列的通项公式；
（2）当
，
（）时，求数列的通项公式；
（3）当
，
（）时，记
，若
能被数
整除，求所有满足条件的正整数
的取值集合．
（1） 
（2）
（3）
（1）由
可知特征方程为：
， 
…………………3分
所以 设 
，由
得到
，
所以 ； …………………6分
（2）由
可以得到
设
，则上述等式可以化为：
…………………8分
，所以对应的特征方程为：
，
…………………10分
所以令 
，由
可以得出
所以
…………………11分
即 …………………12分
（3）同样可以得到通项公式
………14分
所以
即 
…………………14分
即 
，
…………………16分
因此
除以
的余数，完全由
除以的余数确定，
因为
所以 
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由以上计算及可知，数列
各项除以的余数依次是：
它是一个以
为周期的数列，从而
除以的余数等价于
除以
的余数，所以
，
，
即所求集合为：…………………18分