数列
满足：
，
.（Ⅰ）若数列为常数列，求
的值；
（Ⅱ）若
，求证：
； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列
单调递减.
数列满足：，.（Ⅰ）若数列为常数列，求的值；
（Ⅱ）若，求证：； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列单调递减.
（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）因为数列
为常数列，
所以
，
解得
或
由
的任意性知，
或
.
所以
，
或
. ………………… 3 分
（Ⅱ）用数学归纳法证明
.
当
时，
，
符合上式. ………………… 4 分
② 假设当
时，
，
因为 ，
所以 
，即
.
从而
，即
.
因为
，
所以，当
时，
成立.
由①，②知，. ………………… 9分
（Ⅲ）因为 
(
)，
所以只要证明
.
由（Ⅱ）可知，
，
所以只要证明
，
即只要证明
. …………………12分
令
，
，
所以函数
在
上单调递增. ………………… 14分
因为
，
所以
，即成立.
故
.
所以数列
单调递减. ………………… 16分