已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是
，一条渐近线的方程是
.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以
为斜率的直线
与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的取值范围.
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
解：（Ⅰ）设双曲线
的方程为
（
）．由题设得
，解得
，所以双曲线方程为
．
（Ⅱ）设直线
的方程为
（
）．点
，
的坐标满足方程组
将①式代入②式，得
，整理得
．
此方程有两个不等实根，于是
，且
．整理得
． ③
由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足
，
．
从而线段的垂直平分线方程为
．
此直线与
轴，
轴的交点坐标分别为
，
．
由题设可得
．
整理得
，．
将上式代入③式得
，整理得
，．
解得
或
．
所以
的取值范围是
．