在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.
（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.
解：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2,
∵P是半圆O上的动点，P在y轴上，
∴OP=2, ∠AOP=90°，∵AC=2，∴四边形AOPC是正方形，
∴正方形的面积是4，
又∵BD⊥AB，BD=6，
∴梯形OPDB的面积=
,
∴点P的关联图形的面积是12.
（2）判断△OCD是直角三角形.
证明：延长CP交BD于点F.则四边形ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，
又∵四边形AOPC是正方形，∴∠OCP=45°，
∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD.
∴△OCD是直角三角形…
（3）连接OC交半圆O于点P，则点
P记为所确定的点的位置.
理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=
为定值，
要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小.
连接OC，设交半圆O于点P，∵AC⊥OA，AC=OA, ∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°，∴OC⊥CD,OC=2
,∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P‘到CD的距离为P‘H,则P‘H+P‘O>OH>OC, ∵OC=PC+OP, ∴P′H> PC,
∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大.
∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面积=
，
又∵梯形ACDB的面积=，
∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=16-（8-4）=8+4.
