已知函数，. （Ⅰ）设曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线为l，若l与圆x

 已知函数，.

（Ⅰ）设曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线为l，若l与圆x²+ (y-1)²=1相切，求k 的值

（2）若，且对于任意实数时,恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）设函数，求证：

 解.（1）依题意有， = e^x－k.                      ……（1分）

        因此过点的直线的斜率为 e - k，又f(1)= e －k

       所以，过点的直线方程为 y –(e －k)= (e －k)(x – 1)

             即.(e －k) x – y = 0   ……………………………………………（2分）

又已知圆的圆心为(0,1)，半径为，依题意，

解得 ……………………………………………（4分）

       （2）法一:   由得．

       ①当时，．

       此时在上单调递增．

       故，符合题意．……………………………………………（6分）

       ②当时，．

       当变化时的变化情况如下表：

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．……………………………………（9分）

法二:(分离参数法)＞0 , 在x≥0恒成立

若 X=0时 ,k为任意实数……………………………………………（6分）

若 X﹥0时 , ＞0在x＞0恒成立

即k＜e^x/x在x＞0恒成立,  再利导数法求出Q(x)=e^x/x在x＞0上的最小值

Q(x)min= Q(1)=e  ∴0＜k＜e

实数的取值范围是……………………………………………（9分）

（3），

，…（11分）

，

由此得，

故．……………………………………（13分）